¿Qué es el interés compuesto?
El interés compuesto, es un método financiero por
el cual el interés generado por un capital (colocado o captado) en un periodo,
se une al capital inicial para formar un capital más grande que al finalizar el
siguiente periodo, genera un interés que igualmente pasa a formar parte del
capital que lo generó, proceso sistemático que se repite hasta terminar el tiempo
de maduración. En otras palabras se podría definir como la operación financiera
en la cual el capital aumenta al final de cada periodo por la suma de los
intereses vencidos.
En el mundo financiero a la suma total al final del
tiempo de maduración, se le conoce con el nombre de monto compuesto o capital futuro (Cf) y
a la diferencia entre el monto compuesto y el capital original (C0) se le denomina interés
compuesto o nuevo capital compuesto (I) y para su cálculo se puede
usar por lógica las igualdades:
Cf = C0 + I
I = Cf – C0
Es de tener en cuenta para la aplicación del
interés compuesto, que este es más real al momento de mantener el poder
adquisitivo del dinero en el tiempo ya que valora periodo a periodo el dinero
invertido en un compromiso financiero y por tal motivo es el tipo de interés más
utilizado por las instituciones financieras.
Se puede apreciar la capitalización compuesta si
se desarrolla un compromiso financiero en la siguiente tabla.
Una persona invierte durante 4 años la suma de $
100.000 en un título de valor que paga una tasa de interés compuesta del 10% anual ¿cuál sería el monto compuesto?
Tiempo de maduración 4 años
|
|||
Periodos
|
Capital inicial en cada periodo
|
Interés generado en el periodo
|
Monto de cada periodo
|
1
|
100.000
|
10.000
|
110.000
|
2
|
110.000
|
11.000
|
121.000
|
3
|
121.000
|
12.100
|
133.100
|
4
|
133.100
|
13.310
|
146.410
|
Monto compuesto al final del tiempo de
maduración
|
146,410
|
||
En la tabla anterior, se puede ver que el interés
compuesto de cada periodo, en este caso cada año, se calcula sobre el monto
acumulado en cada periodo y que el interés se suma siempre al capital que
inicia en el siguiente periodo, es decir, se presenta capitalización de
intereses, lo que permite conservar el poder adquisitivo del dinero a través
del tiempo.
¿Cómo hallar el capital final o monto
compuesto en el interés compuesto?
El capital final llamado por los matemáticos no
financieros valor futuro, se puede encontrar a partir de un capital inicial dado,
si se tiene una tasa de interés y el tiempo de maduración, lo que permite descomponer
la igualdad de la siguiente forma:
Tiempo de maduración = n
|
|||
Periodos
|
Capital inicial en cada periodo
|
Interés generado en el periodo
|
Monto de cada periodo
|
1
|
C0
|
C0 * i
|
= C0+C0*i
= C0(1+i)
|
2
|
C0(1+i)
|
C0(1+i)i
|
= C0(1+i)
+ C0(1+i)i
= C0(1+i)
(1+i)
= C0(1+i)2
|
3
|
C0(1+i)2
|
C0(((1+i)2)i)
|
= C0(1+i)2
+ C0(((1+i)2)i)
= C0(1+i)2
(1+i)
= C0(1+i)3
|
4
|
C0(1+i)3
|
C0(((1+i)3)i)
|
= C0(1+i)3
+ C0(((1+i)3)i)
= C0(1+i)3
(1+i)
= C0(1+i)4
|
Monto compuesto al final del tiempo de
maduración
|
Cf = C0(1+i)n
|
||
De la anterior descomposición de igualdades se
concluye con la fórmula para hallar el capital final o monto compuesto que es;
Cf = C0(1+i)n
Se aprecia mejor con un ejemplo;
¿Cuál es el monto compuesto de una inversión de
$400.000 que tiene un tiempo de maduración de 6 años si la entidad financiera
nos reconoce una tasa compuesta del 2% anual.
Plantear
Cf = ?
C0 = 400.000
i = 2% anual = 0,02
n = 6 años
Formular
Cf
= C0(1+i)n
Reemplazar
términos y desarrollar
Cf
= 400.000(1+0,02)6
Cf
= 400.000(1,02)6
Cf
= 400.000(1,1261)
Cf
= 450.464,96
¿Cómo hallar el capital inicial en el interés
compuesto?
El capital inicial también llamado por los matemáticos
no financieros valor presente, se puede definir, como el capital que invertido hoy,
a una tasa de interés dada, logrará generar un monto compuesto al finalizar el
tiempo de maduración.
Para hallar el
capital inicial se parte de la fórmula anterior;
Cf = C0
(1+i)n
Que al
descomponer la igualdad para hallar capital inicial resulta,
Para verificar su aplicación se modificará un
poco el ejemplo anterior;
¿Si se obtuvo un monto compuesto de $450.465 en
una inversión durante un tiempo de maduración de 6 años si la entidad
financiera nos reconoció una tasa compuesta del 2% anual. ¿Cuál será el capital
inicial
Plantear
Cf = 450.465
n = 6 años
i = 2% anual = 0,02
C0 = ?
Formular
Reemplazar
términos y desarrollar
C0
= 450.465 / (1+0,02)6
C0
= 450.465 / (1,02)6
C0
= 400.000 /1,1261
C0
= 400.000
¿Cómo hallar el tiempo de maduración en el
interés compuesto?
Para hallar el
tiempo de maduración en el interés compuesto se requiere continuar con el
proceso de descomposición de igualdades, entonces se partirá de la fórmula
anterior que se utilizó para hallar el capital inicial;
Lo que permite
decir que;
Paso siguiente
convertir potencias a logaritmos;
Despejando n la fórmula para
hallar el tiempo de maduración en interés compuesto es;
Para verificar su aplicación se modificará un poco el ejemplo anterior;
Si se obtuvo un monto compuesto de $450.465 con
una inversión de $400.000 cuando la entidad financiera reconoció una tasa
compuesta del 2% anual. ¿Cuál será el tiempo de maduración requerido para
lograr tal monto compuesto?
Plantear
Cf = 450.465
C0 = 400.000
i = 2% anual = 0,02
n = ?
Formular
Reemplazar
términos y desarrollar
n = logn
1,1261 / logn 1,02
n = 0,0516 /
0,0086
n = 6 años
Para recordar siempre
|
La
respuesta para el tiempo de maduración se ajusta al tiempo de la
tasa de interés utilizada, en otras palabras, si la tasa de interés compuesto
que utilizó para desarrollar el compromiso financiero es anual la respuesta
debe ser en años, si la tasa de interés compuesto que utilizó para
desarrollar el compromiso financiero es mensual la respuesta debe ser en
meses.
|
¿Cómo hallar la tasa en el interés compuesto?
Para hallar la
tasa en el interés compuesto es preciso devolverse al donde se obtuvo la
igualdad;
Y continuar con el proceso de descomposición
de igualdades, pero buscando despejar a i entonces se aplica raíz enésima;
Lo que es igual a decir;
Entonces la tasa es igual a;
Ahora solo resta verificar su aplicación por lo
que se modificará un poco el ejemplo anterior;
¿Si se obtuvo un monto compuesto de $450.465 con
una inversión de $400.000 en un tiempo de maduración de 6 años ¿Cuál fue la
tasa de interés compuesto que se aplicó?
Plantear
Cf = 450.465
C0 = 400.000
n = 6
años
i = ?
Formular
Reemplazar
términos y desarrollar
. i = (
(1,1261)0,1667) - 1
. i = (1,0199)
- 1
. i = 0,0199
= 0,020 por aproximación
. i = 2%
anual
Referencias
Baca, G. (1998). Matemática financieras. Bogotá; Educativa.
De la Cueva, B. (1998). Matemáticas Financieras. México;
universidad Autónoma de México
Garcia, J. (2000) Matemáticas financieras. Santafé de Bogotá; Prentice Hall, Pearson
Educativo de Colombia Ltda.
Ramírez. C. García, B. Pantoja, c.
& Zambrano, A. (2009). Fundamentos de
Matemática Financieras. Cartagena; Universidad Libre sede Cartagena.
Villalobos, J. (2007). Matemáticas Financieras, México;
Prentice Hall.
